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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
j) $f(x)=x \sqrt{4-x}$
j) $f(x)=x \sqrt{4-x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(-\infty, 4]$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: No hay candidatos a asíntota vertical (fijate que en $x=4$ tenemos corchete, está incluido dentro del dominio! por eso no es candidato, a diferencia de lo que nos ha pasado en otros items de este mismo ejercicio)
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- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $- \infty$
$\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{4-x} = -\infty$
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = \sqrt{4 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} \)
\( f'(x) = \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} = 0$
$ \sqrt{4 - x} = \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} $
$ 4 - x = \frac{x}{2}$
$8 - 2x = x$
$8 = 3x$
$ x = \frac{8}{3}$
Por lo tanto, $ x = \frac{8}{3}$ es punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < \frac{8}{3} \)
b) \( \frac{8}{3} < x \leq 4 \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < \frac{8}{3}$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $\frac{8}{3} < x \leq 4$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: